1 . （1）求证：能被整除；
（2）求除以的余数.

3 . 记为数列的前项和，已知：，（）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求和：．

4 . 现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，
事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，
①求证：；
②判断：与是否相互独立？请说明理由.

5 . 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．

9 . 某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ₁；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ₂.
（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；
（ii）若，证明：.

10 . 2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（）.

（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；
（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过的概率；
（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）