解题方法
1 . 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，则
当且仅当
或存在一个数
，使得
时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列
满足：①存在
，使得
；②对任意正整数
，均有
.求证：对任意
，
，恒有
.
，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为
的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；(3)已知无穷正数数列
满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.
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2024高三下·全国·专题练习
2 . 求证：
．
．
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3 . 定义：对于任意
，满足条件
且
（M是与n无关的常数）的无穷数列
称为M数列.
（1）若等差数列
的前
项和为
，且
，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列
的前项和为
，且
，证明：数列
是M数列，并指出M的取值范围；
（3）设数列
，问数列
是否是M数列？请说明理由.
，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列.（1）若等差数列
的前项和为，且，判断数列是否是M数列，并说明理由；（2）若各项为正数的等比数列
的前项和为，且，证明：数列是M数列，并指出M的取值范围；（3）设数列
，问数列是否是M数列？请说明理由.
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解题方法
4 . 已知
为定义在
上的奇函数，且当
时，
取最大值为1.
（1）写出的解析式.
（2）若
，
，求证
（ⅰ）
；
（ⅱ）
.
为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1.（1）写出
的解析式.（2）若
，，求证（ⅰ）
；（ⅱ）
.
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解题方法
5 . 如果数列满足“对任意正整数i，j，
，都存在正整数k，使得
”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d.
（1）若
，
，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列具有“性质P”，求证：
且
；
（3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得
，这样的数列共有多少个？并说明理由.
满足“对任意正整数i，j，，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d.（1）若
，，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若数列
具有“性质P”，求证：且；（3）若数列
具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.
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6 . 已知集合
，且
中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素
，使得
，则称集合是“关联的”，并称集合
是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合
和集合
是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有 的关联子集；
已知集合
是“关联的”，且任取集合
，总存在的关联子集
，使得
.若
，求证：
是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在
，使得
.
，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得.
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2020-02-09更新
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1532次组卷
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9卷引用：2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题（已下线）专题02 拿高分题目强化卷（第三篇）-备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）北京市海淀区2021届高三模拟试题（一）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题北京市朝阳区中国人民大学朝阳分校2021-2022学年高三上学期开学考数学试题北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高二5月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题
7 . 已知集合
（
）.对于
，
，定义
；
（
）；与
之间的距离为
．
（Ⅰ）当
时，设
，
．若
，求
；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若
，且
，使
，则
；
（ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由；
（Ⅲ）记
．若，
，且
，求
的最大值．
（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为．（Ⅰ）当
时，设，．若，求；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若
，且，使，则； （ⅱ）设
，且．是否一定，使？说明理由；（Ⅲ）记
．若，，且，求的最大值．
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2020-05-19更新
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910次组卷
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4卷引用：2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1试题
（已下线）2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1试题北京市第二中学2020~2021学年高一下学期第四学段考试数学试题北京市第二中学2021-2022学年高一下学期第四学段考试数学试题（已下线）重难点01平面向量的实际应用与新定义（3）
名校
解题方法
8 . 已知数列满足:
（1）证明:
（2） 证明:
满足:（1）证明:
（2） 证明:
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名校
9 . 已知数列满足 
.
(1)证明：当时，
；
(2)证明：
(
)；
(3)证明：
为自然常数.
满足 .(1)证明：当
时，；(2)证明：
()；(3)证明：
为自然常数.
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2019-10-15更新
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927次组卷
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7卷引用：【全国百强校】浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）数学试题1
【全国百强校】浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）数学试题1浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）数学试题（已下线）专题6.6 数学归纳法 （练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》2018届浙江省宁波市余姚中学高三下学期6月高考适应性考试数学试题2018届浙江省杭州市第二中学高三上学期市统测模拟数学试题（已下线）专题12不等式的证明技巧的求解策略解题模板（已下线）专题7.6 数学归纳法（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测
12-13高二下·江苏·期末
10 . 设x，y，z为非零实数，满足xy+yz+zx=1，证明：
.
.
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2016-12-02更新
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2022次组卷
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4卷引用：2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题
