1 . （1）已知a，b，x均为正数，且，求证：
（2）已知a，b，x均为正数，且，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明
（3）证明：中，，（可直接应用第（1）（2）小题的结论）

2 . 若函数满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.
（1）证明：函数是下凸函数；
（2）判断是不是下凸函数，并说明理由；
（3）若是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.

3 . 已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之；
（3）现换个角度推广：正整数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，试写出条件并证明之.

4 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列是否为集合的元素；
(2)设数列的前项和为且若对任意正整数点均在直线上，证明:数列并写出实数的取值范围；
(3)设数列若数列没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列．

5 . 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x^y）=y•f（x）．
（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；
（3）若a＞b＞c＞1，且，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]²．

6 . 我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线，事实上，多项式函数的图像都是如此.
（1）设，且，若还有，求证：；
（2）设一个多项式函数有奇次项（），求证：总能通过只调整的系数，使得调整后的多项式一定有零点；
（3）现有未知数为的多项式方程（其中实数待定），甲、乙两人进行一个游戏：由甲开始交替确定中的一个数（每次只能去确定剩余还未定的数），当甲确定最后一个数后，若方程由实数解，则乙胜，反之甲胜，问：乙有必胜的策略吗？若有，请给出策略并证明，若无，请说明理由.

7 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．

8 . 已知，都是正数，并且，求证：.

9 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”
(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P，满足既是点（c，d）的“上位点，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；