名校
解题方法
1 . 设
，已知函数
.
(1)当
时，用定义证明
是
上的严格增函数；
(2)若定义在
上的奇函数
满足当
时，
，求
在区间
上的反函数
；
(3)对于（2）中的，若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
，已知函数.(1)当
时，用定义证明是上的严格增函数；(2)若定义在
上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数；(3)对于（2）中的
，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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2023-12-06更新
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138次组卷
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6卷引用：上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（已下线）5.4 反函数-数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）（已下线）单元高难问题03函数恒成立问题和存在性问题-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）（已下线）专题16反函数-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）江苏省南京市第二十九中学2022-2023学年高一下学期2月期初考试数学试题江西省遂川中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题
名校
解题方法
2 . 有一正方形景区
，
所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于
点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域
和
，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线
，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点
为
的中点，点的坐标为
．
(1)求景区内的分界线的方程；
(2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点
处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线
：
，分界线恒在直线的下方（可以接触），求
的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．
，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为．(1)求景区内的分界线
的方程；(2)为了证明
与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．
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名校
3 . 对于函数
，若
，则称x为的“不动点”；若
，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，函数
总存在不动点，求实数c的取值范围；
(3)若
，且
，求实数a的取值范围．
，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．(1)求证：
；(2)若
，函数总存在不动点，求实数c的取值范围；(3)若
，且，求实数a的取值范围．
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2022-11-12更新
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640次组卷
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5卷引用：上海市陆行中学2022-2023学年高一上学期12月质量抽测数学试题
名校
解题方法
4 . 对于定义域为D的函数，如果存在区
，其中
，同时满足：
①在
内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．
(1)求证：函数
不是定义域
上的“保值函数”；
(2)若函数
是区间上的“保值函数”，求
的取值范围；
(3)对（2）中函数，若不等式
对
恒成立，求实数a的取值范围．
，如果存在区，其中，同时满足：①
在内是单调函数；②当定义域是
时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．(1)求证：函数
不是定义域上的“保值函数”；(2)若函数
是区间上的“保值函数”，求的取值范围；(3)对（2）中函数
，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
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2023-04-13更新
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459次组卷
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15卷引用：课时12 函数的概念、函数关系及运算-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）
（已下线）课时12 函数的概念、函数关系及运算-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）上海市实验学校2022届高三冲刺模拟卷5数学试题上海市同济大学第一附属中学2023届高三上学期10月月考数学试题上海市理工大附中2018-2019学年高二下学期期末数学试题2017年上海市长宁、金山、青浦区高考二模数学试题上海市南洋模范中学2021届高三上学期9月月考数学试题（已下线）5.3.1 单调性-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）上海市奉贤区曙光中学2022届高三上学期10月月考数学试题上海交通大学附属中学嘉定分校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题北京市首师大附中2020-2021学年高一上学期期中数学试题北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题广东省广州市执信中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题沪教版(2020) 必修第一册 堂堂清 第五章 复习检测五广东省珠海市广东实验中学金湾学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第06讲 函数的应用（一）-【帮课堂】（人教A版2019必修第一册）
名校
解题方法
5 . 已知实数
，函数
的表达式为
；
(1)当
时，用定义判定
的奇偶性并求其最小值；
(2)用定义证明函数
在
上是严格减函数，在
上是严格增函数；
(3)若对于区间
上的任意三个实数
，都存在以
为三边长的三角形，求实数的取值范围（可利用（2）的结论）.
，函数的表达式为；(1)当
时，用定义判定的奇偶性并求其最小值；(2)用定义证明函数
在上是严格减函数，在上是严格增函数；(3)若对于区间
上的任意三个实数，都存在以为三边长的三角形，求实数的取值范围（可利用（2）的结论）.
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2022-12-02更新
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346次组卷
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2卷引用：上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题
解题方法
6 . 已知函数
．
(1)当时，求方程
的实数解；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在两个不相等的正实数
，
，满足
，试比较
、2、
这三个数的大小关系，并证明你的结论．
．(1)当
时，求方程的实数解；(2)若对任意
，恒成立，求实数的取值范围；(3)若存在两个不相等的正实数
，，满足，试比较、2、这三个数的大小关系，并证明你的结论．
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名校
解题方法
7 . 已知函数
，
.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式：
.
，.(1)求函数
的极值；(2)若不等式
在上恒成立，求a的取值范围；(3)证明不等式：
.
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2022-08-26更新
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1479次组卷
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9卷引用：上海市格致中学2023届高三上学期12月月考数学试题
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)求证：函数是偶函数；
(2)设
，求关于的函数
在
时的最小值
的表达式；
(3)若关于的不等式
在
时恒成立，求实数
的取值范围.
.(1)求证：函数
是偶函数；(2)设
，求关于的函数在时的最小值的表达式；(3)若关于
的不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
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9 . 若两个函数和
对任意
都有
，则称函数和在
上是“密切”的．
(1)已知命题“函数
和
在
上是“密切”的”，判断该命题的真假．若该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;
(2)若函数和在
上是“密切”的，求实数的取值范围；
(3)已知常数
，若函数
与
在上是“密切”的，求实数的取值范围．
和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的．(1)已知命题“函数
和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;(2)若函数
和在上是“密切”的，求实数的取值范围；(3)已知常数
，若函数与在上是“密切”的，求实数的取值范围．
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2023-01-12更新
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224次组卷
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2卷引用：上海市长宁区2022-2023学年高一上学期期末数学试题
解题方法
10 . 因函数
的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在
上是减函数，在
上是增函数．
(2)已知
，
，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数的取值范围．
的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．(1)证明对勾函数具有性质：在
上是减函数，在上是增函数．(2)已知
，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数
和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
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2022-06-05更新
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1992次组卷
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7卷引用：上海市静安区2022届高三下学期6月最后阶段水平模拟数学试题
上海市静安区2022届高三下学期6月最后阶段水平模拟数学试题（已下线）第03讲 函数及其性质-2（已下线）专题05函数的应用必考题型分类训练-2（已下线）第10讲：第二章 函数与基本初等函数（测)（基础卷）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）2.3 函数的单调性和最值--2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第一册（已下线）第一章 导数与函数的图像 专题三 导数中常见函数的图像 微点1 导数中常见函数的图像及其性质（一）（已下线）大招6 对勾函数
