名校
1 . 已知向量
的夹角为
，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，且
，求实数
的值.
的夹角为，且.(1)求证：
；(2)若
，且，求实数的值.
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解题方法
2 . 现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为
.求
的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取
次，每次抽取1球，若抽取次数不超过
次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为
，求
的数学期望
，并证明：
.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；(2)现从甲中有放回的抽取
次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.
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解题方法
3 . 如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，底面
是矩形，平面
平面
分别为线段
的中点，点
在线段
上（不包括端点）.
，求证：点
四点共面；
(2)若
，是否存在点，使得
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出
，若不存在，请说明理由.
中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.
，求证：点四点共面；(2)若
，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
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4 . 如图，在三棱柱
中，
，
，
，
，P为线段
的中点，点N为线段
上靠近
的三等分点.
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.
；(2)求平面
与平面夹角的余弦值.
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解题方法
5 . 如图，在四棱锥中，
，
，连接
．
平面
；
(2)求直线
与平面所成角正弦值的大小．
中，，，连接．
平面；(2)求直线
与平面所成角正弦值的大小．
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6 . 已知椭圆
，圆
．
(1)点
是椭圆
的下顶点，点
在椭圆上，点
在圆
上（点
异于点），连
，直线
与直线
的斜率分别记作
，若
，试判断直线
是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
(2)椭圆的左、右顶点分别为点
，点
（异于顶点）在椭圆上且位于
轴上方，连
分别交
轴于点
，点在圆上，求证：
的充要条件为
轴．
，圆．(1)点
是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．(2)椭圆
的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．
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解题方法
7 . 已知函数
在点
处的切线平行于直线
．
(1)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
是函数
的极值点，求证：
．
在点处的切线平行于直线．(1)若
对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)若
是函数的极值点，求证：．
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名校
解题方法
8 . 在
中，中线
和中线
相交于点
，点在边
上.
(1)若
，证明：点是边上靠近点
的四等分点；
(2)证明：
；
(3)若
，求中最大角与最小角的和.
中，中线和中线相交于点，点在边上.(1)若
，证明：点是边上靠近点的四等分点；(2)证明：
；(3)若
，求中最大角与最小角的和.
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解题方法
9 . 已知函数
，其中
(1)若
，记
，试判断
在
上的单调性；
(2)求证:当
时，
；
(3)若对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
，其中(1)若
，记，试判断在上的单调性；(2)求证:当
时，；(3)若对
，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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10 . 如图，在四面体中，
，
，
两两垂直，
，
是线段的中点，是线段
的中点，点在线段
上，且
．
平面
；
(2)若点在平面
内，且
平面
，求直线
与平面所成角的正弦值．
中，，，两两垂直，，是线段的中点，是线段的中点，点在线段上，且．
平面；(2)若点
在平面内，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．
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