1 . 已知平面向量满足，，则的最小值是__________.

2 . 如图，已知，，为边上靠近点的三等分点.

(1)若，，求.
(2)若直线平分，求与内切圆半径之比的取值范围.

3 . 如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，沿直线折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．
   
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置．

4 . 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段的中点，则下列说法中正确的是_________________.

①；②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；
③的最小值为；④的取值范围是.

5 . 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，四边形中，，．

(1)求；
(2)若，求．

7 . 如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.

(1)求；
(2)若，求长.

8 . 如图，平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为______．

9 . 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，是直角三角形斜边上一点，.

(1)若，求角的大小；
(2)若，且，求的长.