1 . 设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.

2 . 对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．

3 . 已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.

4 . 已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

5 . 记是等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.

6 . 已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．

7 . 已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．
(1)求；
(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

8 . 已知等差数列的各项均为正数，，.
(1)求的前项和；
(2)若数列满足，，求的通项公式.

9 . 在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

10 . 已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．

(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.