1 . 已知数列{a_n}各项均不相同，a₁＝1，定义，其中n，k∈N*．
（1）若，求；
（2）若b_n＋1(k)＝2b_n(k)对均成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（i）求数列{a_n}的通项公式；
（ii）若k，t∈N^*，且S₁，S_k－S₁，S_t－S_k成等比数列，求k和t的值．

2 . 设数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，证明：数列中任意三项不可能构成等差数列．

3 . 已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，若a_n+2+2a_n+1+a_n=0对任意都成立，则数列{a_n}的前n项和S_n=____________.

4 . 已知数列中，，点在直线上.
(1)计算、、的值；
(2)令，求证：数列是等比数列；
(3)设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

6 . 已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .