2024高三·全国·专题练习
1 . 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
，
，点C在底面圆周上，且二面角
为
，则（ ）．
，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）．A．该圆锥的体积为 | B．该圆锥的侧面积为 |
C． | D． 的面积为2 |
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解题方法
2 . 如图，若P是棱长为2的正方体
的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在平面 内运动时，四棱锥 的体积变化 |
B．当P在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是 |
C．使直线 与平面 所成的角为45°的点P的轨迹长度为 |
D．若F是棱 的中点，当P在底面内运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是 |
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3 . 如图1，设半圆的半径为2，点
、
三等分半圆，点
、
分别是
、
的中点，将此半圆以
为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：
的长；
(2)求四面体
的体积；
(3)求三棱锥
与三棱锥
公共部分的体积．
、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：
的长；(2)求四面体
的体积；(3)求三棱锥
与三棱锥公共部分的体积．
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解题方法
4 . 已知正四面体的棱长为3，
，
，过点
作直线分别交
，
于，．设
，
（
）．
的最小值及相应的
，
的值；
(2)在（1）的条件下，求：
①
的面积；
②四面体
的内切球的半径．
，，过点作直线分别交，于，．设，（）．
的最小值及相应的，的值；(2)在（1）的条件下，求：
①
的面积；②四面体
的内切球的半径．
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解题方法
5 . 已知
，，，
为球面上四点，，分别是
，
的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥
的四个顶点在表面积为
的球面上，它的两条边，的长度分别为
和
，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ）
，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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6 . 一个长方体容器（厚度忽略不计）的高为8cm，底面是边长为6cm的正方形，现装入一定量的水，然后将一个半径为3cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，球与水面刚好相切，则装入水的体积为______ 
．
．
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解题方法
7 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 |
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 |
C．勒洛四面体中过 三点的截面面积为 |
D．勒洛四面体的体积 |
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解题方法
8 . 在三棱锥
中，二面角
的大小为
，
，
，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________ ．
中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为
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9 . 已知正四棱锥底面边长为
，高与斜高夹角为
，则它的体积为__________ ．
，高与斜高夹角为，则它的体积为
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解题方法
10 . 已知半径为的球
的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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