1 . 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点（不与重合），且满足，的斜率之积为.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

2 . 如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．
   
(1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

3 . 如图，已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（       ）
   

A．

B．

C．2

D．

4 . 已知，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限部分上的一点，线段与双曲线交点为，且，为坐标原点，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．双曲线的离心率

C．

D．若的内心的横坐标为3，则双曲线的方程为

5 . 已知双曲线的左右焦点为，，经过的圆（为坐标原点）交双曲线的左支于，，且为正三角形.
(1)求双曲线的标准方程及渐近线方程；
(2)若点为双曲线右支上一点，射线，分别交双曲线于点，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（       ）

A．的渐近线方程为

B．点与点均在同一条定直线上

C．直线不可能与平行

D．的取值范围为

7 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．
   

8 . 已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；       
②的取值范围为；
③不存在点，使得；       
④的取值范围为.
则上述命题正确的个数是（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（       ）

A．2

B．

C．

D．

10 . 已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．