1 . 如图，已知双曲线
的离心率为2，点
在
上，
为双曲线的左、右顶点，
为右支上的动点，直线
和直线
交于点
，直线
交的右支于点
．的方程；
(2)探究直线
是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设
分别为
和
的外接圆面积，求
的取值范围．
的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．
的方程；(2)探究直线
是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设
分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
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解题方法
2 . 已知椭圆
，
分别为双曲线
的左，右顶点，
分别为
和
的离心率．
(1)若
．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点
的直线l交的右支于两点，
与直线交于
两点，记
坐标分别为
，求证：
；
(2)从上的动点
引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率．(1)若
．（ⅰ）求
的渐近线方程；（ⅱ）过点
的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：；(2)从
上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
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3 . 已知双曲线
的渐近线方程为
，的半焦距为
，且
．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆
外一点，过作圆的两条切线
（斜率都存在），
与交于另一点
与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点
，使得关于点对称．
的渐近线方程为，的半焦距为，且．(1)求
的标准方程．(2)若
为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（ⅰ）
的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点
，使得关于点对称．
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4 . 已知直线
与曲线
．
(1)若
与交于
，
两点，点
，直线
与
的斜率之积为1，证明：直线过定点；
(2)若与相切于点
，过点且与垂直的直线分别交
轴、
轴于
，
两点，求
的最小值．
与曲线．(1)若
与交于，两点，点，直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点；(2)若
与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，求的最小值．
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解题方法
5 . 已知
，设动点满足直线
的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点为直线
上的动点，直线
与曲线交于点（不同于点），直线
与曲线交于点（不同于点
）．证明：直线
过定点．
，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程；(2)点
为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
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6 . 过双曲线
的右焦点
作斜率相反的两条直线、
，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若
、
相交于点．
(1)求证：点为定点；
(2)设的中点为
的中点为，当四边形
的面积等于
时，求四边形的周长．
的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点．(1)求证：点
为定点；(2)设
的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长．
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解题方法
7 . 已知双曲线
的两条渐近线方程为
分别为双曲线的顶点，且
．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知
为坐标原点，直线
与双曲线交于
两点，且
，求
的值．
(3)设动点
，直线
与双曲线分别交于
两点．求证：直线过定点．
的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且．(1)求双曲线
的方程．(2)已知
为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值．(3)设动点
，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点．
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8 . 在平面直角坐标系内，以原点为圆心，
（
，
，为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线
，过点作圆的切线
与轴交于点
，过圆与轴的交点作圆的切线
与直线交于点
，过点，分别作轴，轴的垂线
交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设
，点
，
，过点
的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．
（i）若
，
的内切圆的圆心的纵坐标为
，求
的值；
（ii）若点是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交
于点，证明：的长为定值．
为圆心，（，，为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点，分别作轴，轴的垂线交于点．(1)求动点
的轨迹的方程；(2)设
，点，，过点的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．（i）若
，的内切圆的圆心的纵坐标为，求的值；（ii）若点
是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交于点，证明：的长为定值．
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9 . 已知双曲线经过点
，离心率为
，直线过点
且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求证：直线与直线
的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点分别作直线
的垂线，垂足分别为，记
的面积分别为，求
的最大值.
经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.(1)求证：直线
与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；(2)过点
分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
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10 . 已知双曲线
，过该曲线上的点
作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线
交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为
，且
，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线
过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形
的面积的取值范围．
，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线
过定点.(3)当
的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
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