圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：
的阿基米德三角形
为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②
；③
.已知△PAB为等轴双曲线
的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.
(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，
，求点P的坐标.
（注：双曲线
的以
为切点的切线方程为
的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标.（注：双曲线
的以为切点的切线方程为
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更新时间：2023-02-25 11:28:50
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【推荐1】已知
为坐标原点，曲线
：
和曲线
：
有公共点，直线
：
与曲线的左支相交于A、B两点，线段
的中点为M.
(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程.
(2)若
，直线经过点
，且
，求直线的方程.
(3)若直线
：
与曲线相交于C、D两点，且直线
经过线段
中点N，求证：
.
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，直线经过点，且，求直线的方程.(3)若直线
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【推荐2】已知双曲线C：
的右顶点为M，过点
的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为
，直线MB的斜率为
.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：
为定值，并求出该定值；
(3)求
的最大值.
的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：
为定值，并求出该定值；(3)求
的最大值.
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与双曲线
有相同的渐近线，直线
被双曲线
为直径的圆恒过
【推荐1】已知A、B为椭圆
（
）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
（
，
），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、
、
.
（1）若，求
的值（用a、b的代数式表示）；
（2）求证：
；
（3）设
、
分别为椭圆和双曲线的右焦点，若
，求
的值．
（）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（，），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.（1）若
，求的值（用a、b的代数式表示）；（2）求证：
；（3）设
、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值．
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】已知双曲线C:
的左右顶点分别是
且经过点
，双曲线的右焦点到渐近线的距离是
，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于），P关于原点O的对称点为S.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）若直线
与直线
相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得
的面积为定值，并求出该定值.
的左右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于），P关于原点O的对称点为S.（1）求双曲线C的标准方程;
（2）若直线
与直线相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得的面积为定值，并求出该定值.
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的值；
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解答题-问答题
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名校
解题方法
【推荐1】 设直线
（其中
，
为整数）与椭圆
交于不同两点
，
，与双曲线
交于不同两点
，
，问是否存在直线
，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
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解题方法
【推荐2】已知双曲线
的离心率是2，直线过双曲线的右焦点
，且与双曲线的右支交于
两点.当直线垂直于
轴时，
.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是
，直线
与
交于点
，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.(1)求双曲线
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，渐近线方程为
.
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两点，
与
交于点
.求证：点
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知双曲线C以
为渐近线，其上焦点F坐标为
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于
两点，
的中垂线交y轴于点T，问
是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
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【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为
，直线
与轴的交点为
，且
.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为
的直线与交于，两点，
为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点
，求证：
为定值.
的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求
的方程；(2)过点
作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
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的左、右焦点分别为
，过
．过
两点，且
的最小值为
．
的中点分别为
的面积为
，
的面积为
（
的斜率分别为
且
，求证：
为定值，并求出这个定值．
