【推荐1】如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线上一点的直线隔离带，，分别在边， 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点到边的距离为（单位：），的面积为（单位：）．
   
(1)求关于的函数解析式；
(2)是否存在点，使隔离出来的的面积超过？并说明理由．

【推荐2】给定函数.
(1)讨论函数的单调性，并求出的极值；
(2)讨论方程解的个数.

【推荐3】一个口袋中有除颜色外其他均相同的2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回袋中），若摸出的2个球颜色相同，则为中奖，否则为不中奖.设一次摸球中奖的概率为.
（1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
（2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取得最大值？

【推荐1】宜春市旅游资源丰富，知名景区众多，如袁州区的明月山风景区、三阳镇的酌江风景区、万载县的万载古城景区、铜鼓县的天柱峰国家森林公园景区、樟树市的阁皂山风景区、上高县的白云峰漂流景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业迎来复苏．某旅游开发公司计划2024年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本万元，且，，该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元．
(1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）；
(2)当2024年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

【推荐2】一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值．

【推荐3】如图，已知矩形中，，，过点的直线与，的延长线分别交于点.
（1）若的面积不小于50，求线段的长度的取值范围；
（2）在直线绕点旋转的过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的的长度；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知、分别是椭圆E：的左，右焦点，椭圆E上一点P满足垂直于x轴，．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若，点，过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于M，N（均异于点A）两点．求证：M，N，Q三点在一条直线上．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.

(1)若点在直线上，求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【推荐3】已知曲线C的方程为．
（1）求曲线C的离心率；
（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．

【推荐1】已知点是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，且；
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求证：．

【推荐2】已知椭圆：的右焦点，过的直线交椭圆于两点，且是线段的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积．

【推荐3】已知椭圆T：的左、右焦点分别为、，离心率为，过且与x轴不重合的直线l交椭圆T于A，B两点，的周长为8．
求椭圆T的标准方程；
已知直线：，直线：设与椭圆T交于M、N两点，与圆C：交于P、Q两点，求的值．