【推荐1】已知函数.
(1)求证：函数在区间上为单调递增函数；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数的值.

【推荐2】已知函数（）.
(1)证明：；
(2)设为的极值点，证明：.

【推荐3】已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，且满足（为自然对数的底数，）．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．

【推荐1】设函数，.
（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【推荐2】已知且，函数．
(1)若是不小于2的正整数，求函数的极值点；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若曲线与直线有且仅有两个公共点，求实数的取值范围．

【推荐3】已知函数．
（1）设,
①当时，求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：对任意恒成立．
（2）讨论的极值点个数．

【推荐1】曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知函数，，曲线在点处的曲率为．
（1）求实数的值；
（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设方程在区间（）内的根从小到大依次为，求证：．

【推荐2】给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．