1 . 如图，抛物线
与
轴交于
，
两点（点在点的左侧），且点为
，与
轴交于点
，直线
经过，
两点，点
是第一象限内抛物线上的一个动点，连接
，
．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线的解析式记为
，当
时，直接写出的取值范围；
(3)设点的横坐标为
，四边形
的面积为
，求的最大值并求出此时点的坐标．
与轴交于，两点（点在点的左侧），且点为，与轴交于点，直线经过，两点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线
的解析式记为，当时，直接写出的取值范围；(3)设点
的横坐标为，四边形的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标．
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2 . 如图，已知二次函数
的图象交轴于点
，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，求
面积的最大值；
(3)直线
（不经过点
）分别交直线和抛物线于点
，当
是等腰三角形时，直接写出
的值．
的图象交轴于点，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式；
(2)点
是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；(3)直线
（不经过点）分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值．
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3 . 如图，已知二次函数
的图象与轴交于点
和点，与轴相交于点
．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点
在线段
上运动，过点作轴的垂线，与
交于点
，与抛物线交于点．
①连接
，
，当四边形
的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；
②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与
相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式；
(2)点
在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．①连接
，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；②探究是否存在点
使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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2023-10-30更新
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508次组卷
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2卷引用：云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
4 . 如图，二次函数
的图象经过坐标原点，与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；
(3)在抛物线上是否存在点P，满足
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
的图象经过坐标原点，与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；
(3)在抛物线上是否存在点P，满足
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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5 . 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线
经过抛物线
（
，
，
是常数，
）的顶点和该抛物线与轴的交点，则把该直线称为抛物线
的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
(1)若直线
是抛物线
的“心心相融线”，求
的值．
(2)若过原点的抛物线
（，是常数，且
）的“心心相融线”为
，则代数式
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)当常数满足
时，求抛物线
（，，是常数，）的“心心相融线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
经过抛物线（，，是常数，）的顶点和该抛物线与轴的交点，则把该直线称为抛物线的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：(1)若直线
是抛物线的“心心相融线”，求的值．(2)若过原点的抛物线
（，是常数，且）的“心心相融线”为，则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．(3)当常数
满足时，求抛物线（，，是常数，）的“心心相融线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
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2023-10-18更新
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131次组卷
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2卷引用：云南省昆明市官渡区长丰学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
名校
6 . 综合与探究
如图，抛物线与轴相交于
，
两点，且经过点
，点为抛物线与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点为抛物线图象上的一点，
，求点的坐标；
(3)设点是线段上的动点，作
轴交抛物线于点，求线段
长度的最大值．
如图，抛物线与
轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点
为抛物线图象上的一点，，求点的坐标；(3)设点
是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
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2023-10-10更新
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155次组卷
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3卷引用：云南省昆明市第三中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
名校
7 . 已知抛物线与轴交于
，
两点．
(2)如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线经过
外接圆的圆心，求点P的横坐标；
(3)如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接
分别交、y轴于D、E两点， 若
、
的面积分别为
，求
的最大值；
(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，当
的值最大时，点Q的坐标为： ．（直接填空）
与轴交于，两点．
(2)如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线
经过外接圆的圆心，求点P的横坐标；(3)如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接
分别交、y轴于D、E两点， 若、的面积分别为，求的最大值；(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，当
的值最大时，点Q的坐标为： ．（直接填空）
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8 . 已知：如图直线
与抛物线
交于A、B两点，C是抛物线顶点．
(1)求A、B、C点的坐标；
(2)求
的面积；
(3)直接写出
的解集．
与抛物线交于A、B两点，C是抛物线顶点．(1)求A、B、C点的坐标；
(2)求
的面积；(3)直接写出
的解集．
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名校
9 . 如图，在
，
，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数
过
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)
为二次函数上一点，
为轴上一点，当
成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．
，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过． (1)求二次函数的解析式；
(2)点
为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；(3)
为二次函数上一点，为轴上一点，当成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．
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2023-09-23更新
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445次组卷
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5卷引用：云南省昆明市官渡区昆明市第十二中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
真题
名校
10 . 如图，一条抛物线
经过
的三个顶点，其中
为坐标原点，点
，点在第一象限内，对称轴是直线
，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段
的中点，为直线
上的一个动点，连接，，将
沿翻折，点的对应点为
．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18 (1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点
的坐标；(3)设
为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-09-20更新
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2357次组卷
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10卷引用：专题12 二次函数与几何问题（三）（四大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题12 二次函数与几何问题（三）（四大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）2023年山东省淄博市中考数学真题（已下线）寒假作业11 二次函数中的存在性与最值问题-【寒假分层作业】2024年九年级数学寒假培优练（人教版）2024年四川省泸州市泸县四川省泸县第五中学中考一模数学试题（已下线）专题4 数形思想2024年山东德州中考数学一模模拟试题2024年山东省菏泽市郓城县一模数学模拟试题（已下线）突破02 方程（组）、不等式、函数等代数应用题（5类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）突破06 函数与几何图形动态探究题（5类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）专题13 二次函数与几何综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
