1 . 如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G．

(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长；
(3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长．

2 . 已知：如图，在矩形中，，，点为边上一动点，把沿翻折后得到．

   

(1)当点恰好落在矩形对角线上时，求线段的长；
(2)当直线与边相交于点时，是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论；
(3)当直线与边相交于点，且点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域．

5 . 已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点．

(1)如图，点D恰好落在点O处．
①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；
②连接，与、分别交于点F、G，求的值；
(2)如果，求折痕的长．

6 . 如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点．

(1)证明：；
(2)连接、、，若，证明：四边形为矩形．

7 . 已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．

(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，如果，求的值；
(3)如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长．

8 . 定义：四边形中，点E在边上，连接、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点．
已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是________．

10 . 如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）．

　　

(1)当是的中点时，求证：；
(2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
(3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由．