1 . 如图，经过点的抛物线与轴相交于，两点．

(1)求此抛物线的函数关系式和顶点的坐标；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若点是第四象限抛物线上的一点，是否存在一点使以、、、为顶点的四边形面积最大？若存在，求点的坐标及四边形的最大面积，若不存在，说明理由．

2 . 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到．

(1)有一条抛物线经过点，，，求该抛物线的解析式．
(2)设该抛物线的一个动点的横坐标为．
①当时，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值；
②点是直线上的一个动点，若以为边，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的的值．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方拋物线上任意一点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点平移后的对应点为，为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．

4 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．

(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B坐标为，点D为线段OB上一点，点E为抛物线上一动点．

(1)求b的值；
(2)点D坐标为（3，0），点E在第一象限的抛物线上，设的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，点D坐标为（4，0），是否存在点E，使，若存在，请求出点E坐标，若不存在，说明理由．

9 . 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是上一点，且．点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为；交于，交于，连接，，设运动时间为（）．

(1)当为何值时，？
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使得点在的角平分线上？若存在，求出此刻的值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长．