1 . 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

            
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．

2 . 定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

(1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
(2)命题“是美好点”是               命题（填“真”或“假”）

4 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．

       

(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积；
(3)点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
(3)上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．

6 . 如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是_______．

7 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，连接，求的面积；
(3)作直线分别垂直于x轴和y轴，垂足为M，N，与交于点C，在第一象限内存在一点D使得，连接，若点P是的中点，连接，当最大时，求出此时点D的坐标及的值．

8 . 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点是轴上一点，若，求点的坐标；
(3)若是以为斜边的直角三角形，点是的中点，点的坐标为，求线段的最小值．

9 . 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．

(1)求的值
(2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界），
①当时，区域的整点个数为      ；
②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为      ；
(3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ．

10 . 实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．

例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；

【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？