2 . 【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长．

3 . 如图，是的边上一点．

(1)过点画的垂线，垂足为点．
(2)________（填“”、“”或“”），依据是________________．

4 . 如图，在直角三角形中，．

(1)点B到的距离是          ；点A到的距离是         ；
(2)画出表示点C到的垂线段，并求出的长；
(3)       （填“＞”“＜”或“=”)，理由是                 ．

5 . 如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题：

(1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H；
(2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______．

6 . 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．

7 . 如图，是的角平分线，且，，．

(1)求的度数；
(2)若，点是上的动点，求的最小值．

8 . 【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线     我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 请写出完整的证明过程

(1)请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．
       
(2)如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，已知的周长为30，则的长为______．
(3)如图③，在中，，，E、P分别是、上任意一点，若，则的最小值是______．

10 . 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容。

3．角平分线 回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴：如图，是的平分线，P是上任一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E， 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请写出完整的证明过程：

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（1）如图②，在中，，平分交于点．若，，求的长；
（2）如图③，在中，，平分交于点，点在上，点在上．若，，则的最小值为______．