1 . 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

            
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．

2 . 在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．

   

(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到等式：______；
(2)图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由．
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：若图3中，直角三角形三边、．
①在直角中，，已知，，求的值；
②在①的条件下，若点是边上的动点，连接，求线段的最小值；
③若，且，则的值．

3 . 如图1：在中，

(1)利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线，（要求：点在上，点在上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，
(3)如图3：在中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上．

(1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形；
(2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值．

5 . 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

6 . 如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近．

(1)请你在上分别画出E，F两点的位置；
(2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P．

8 . 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______．

9 . 如图，方格纸中有一条直线和一格点P．

(1)过点P画直线；
(2)在直线上找一点N，使得最小．

10 . 如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求仅用无刻度的直尺在网格中画图，并标注相关字母．

(1)画线段；
(2)画直线（点E为格点）；
(3)画出点，使 最小；
(4)在线段上画出点F，使最短．