1 . 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB．
   
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．

2 . 背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．
例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．

学习小组继续探究：
（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．
学以致用：
（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．

3 . 如图所示，在中，．
（1）尺规作图：过顶点A，作的角平分线；(不写作法，保留作图痕迹)
（2）在上任取一点E，连接．求证：．

5 . 如图，在5×5的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．

(1)仅用无刻度的直尺画出△ABC的AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，求CH的长；
(3)在5×5的方格纸中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有        个．

7 . 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，完成证明；已知：如图2，是半圆的直径，点在直线上，且，，与相切于点，求证：；
(2)若，半圆的半径为3，连接，交圆于点，求弧的长．

8 . 我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三等分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，足够长的与垂直于点．

【任务目标】三等分（如图2）
【操作方法】如图3，
第一步：使三等分角器的经过的顶点；
第二步：调整三等分角器的位置，使点落在边上；
第三步：继续调整三等分角器的位置，使半圆与另一边相切，连接．则三等分．
【证明与应用】
(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，补充已知条件并完成证明；
已知：如图3，是半圆的直径，点在直线上，且，______，______，连接，交圆于点，求证：；
(2)若，半圆的半径为3，求的长．

10 . 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，．

(1)求证：；
(2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、．
①依题意补全图形；
②若，求的长．