6 . （1）【问题原型】如图①，在正方形中，点分别在边，上，且，点为，的交点，求证：．
（2）【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边中，点，分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点为，的交点，请画出图形并求的度数．
（3）【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：
如图③，在菱形中，，点分别在边，上，且，，点为，的交点，求的度数．

8 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，观察不同的摆放方法下其中某些线段之间的数量关系与位置关系．
知识初探：
将等腰直角三角形与正方形如图摆放，使正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，且边经过点，请你直接写出与的数量关系和位置关系．
类比再探：
如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，边不经过点，连接，，此时与又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
拓展延伸：
如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，正方形的两条对角线交于点，连接，，取的中点，连接，请你直接写出与之间的数量关系与位置关系．
   

9 . 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．

   

（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．

10 . 综合与实践
问题情境：
如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．

特例探究：
（1）如图，当点在边上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，发现，请说明理由；
拓展探究；
（2）如图2，点和分别为和的中点，点在外部时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，和，判断与的数量关系，并证明；
求异探究：
（3）如图3，当点在的延长线上时，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的长．