1 . 【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的．
请同学们在此基础上继续展开后续探究：
【提出问题】
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，．
试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上．
证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，，
，（①______________）
，
②___________，
点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点、在点、、所确定的上，
点、、、四点在同一个圆上．
结论：在线段同侧有两点、，连接，，，，
如果，那么、、、四点共圆．
   
补全上述说理过程：
①______________；②______________．
【结论应用】
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________．
（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
求证：、、、四点共圆；
   
【拓展延伸】
（4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）

   

2 . 综合与实践
问题情境：
如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接．
操作探究：
将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接．

（1）如图2，当M是的中点时，求证：；
（2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系．

3 . 完成下列各题：
   
(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请直接写出和的数量关系．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．

5 . （1）【问题背景】如图1，在中，，，，为边上的点，且，绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出与的数量关系       ；

（2）【类比探究】如图2，在中，，，、均为边上的点，且，，，求的长；

（3）【拓展应用】如图3，E是正方内一点，，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时       ．

6 . 综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）

操作发现
（1）图1中线段和的数量关系是 　        　，位置关系是 　        　．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值

8 . 问题背景如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，连接，探究之间的数量关系．

(1)探究发现   李雷同学的方法是将绕点A顺时针旋转至的位置，然后再证明，从而得到之间的数量关系为：______；
(2)拓展延伸   如图2，在四边形中，，，点E，F分别是边上的点，且，连接，则（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)归纳应用   如图3，等边三角形的边长为4，点D，E在直线上（点D在点E的左侧），且，当时，请直接写出线段的长．

9 . 在矩形中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．

   

(1)特例发现：如图1，当时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接，求的长．

10 . 综合探究：
(1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．
   请直接写出四边形 ABCD的面积；
(2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积；
(3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积．