1 . 【问题提出】如图1，在中，，，是等边三角形，点在边上，探究与的数量关系．
   
【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边上时，猜想和数量关系，并加以证明；
（2）再探究一般情形，如图2，当点E在内部时，证明（1）中的结论仍然成立．
【问题拓展】（3）如图3，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G，，．直接写出的长．

2 . 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于P点． 试猜想与的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】
同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题． 请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值． 当时，请你求出周长的最小值．

3 . （一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．

6 . 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
【问题发现】
如图①，若，则 __________，与的数量关系是__________；
【类比探究】
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图③，点E为正方形的边上的点，，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请求出线段的长度．

8 . 初步探究：如图1，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中、、之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是       ．
灵活运用：如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系．

   

9 . 综合与实践
问题情境
某数学兴趣小组开展综合实践活动：如图1，在中，，，点在边上，且，将绕点逆时针旋转得到，要求大家观察图形，提出问题并加以解决．
问题探究
（1）甲同学提出：当时，求证：四边形是菱形．
（2）乙同学提出：如图2，当，时，求的长．
拓展创新
（3）丙同学提出：如图3，若，求的度数．