1 . 初中几何学习一般路径为：线——三角形——四边形——多边形，线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线．三角形、四边形的学习都是由一般到特殊，从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形，且研究了其特殊性质．学习过程中，同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程：
探究发现

（1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系．
如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．发现，．
证明思路如下：
延长交于点H，连接．证明，点G为的中点，即可证明结论．
依据提供思路写出规范的推理过程．
类比猜想
（2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系．
如图2，在等边三角形中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．猜想的数量关系以及位置关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系．
如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出的数量关系．

2 . 【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．
（1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）
【类比探究】
（2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小；
（4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案．

6 . 【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组：和是等腰直角三角形，．
连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了．
二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在和中，，连接．
则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______；

【变式拓展】
（3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长．

8 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1，是等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B重合），连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题：
特例探究：
（1）当点D与点A重合时，请在图2中利用尺规作图按上述要求补全图形，连接，请你判断此时四边形的形状并证明；
类比拓展：
（2）当点D与点A不重合时，如图（1），试猜想与之间的数量关系并加以证明；
问题解决：
（3）当，时，直接写出的长．