1 . 如图，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)观察猜想如图1，当时，线段，之间的数量关系，并说明理由；
(2)类比探究如图2．当时，请写出线段，之间的数量关系，并仅就图2的情形说明理由；
(3)拓展应用如图3，当，，点，与的中点三点共线时，请直接写出的值．

2 . 【问题情境】
（）如图，四边形是正方形，点是对角线上一动点，求证：；请你完成证明．
【深入探究】
（）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接．
①试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
②若，则最小值为________．
【拓展应用】
（）如图，延长、交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为________．

3 . 综合探究：
(1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．
   请直接写出四边形 ABCD的面积；
(2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积；
(3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积．

4 . 综合与实践
如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，．

(1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______；
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________．

5 . 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于P点． 试猜想与的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】
同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题． 请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值． 当时，请你求出周长的最小值．

6 . （一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．

9 . 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
【问题发现】
如图①，若，则 __________，与的数量关系是__________；
【类比探究】
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图③，点E为正方形的边上的点，，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请求出线段的长度．