4 . 综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，为边上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，连接并延长，交的延长线于点G，连接．

观察发现：
（1）①图1中与的数量关系为___________；
②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
（2）如图1，试猜想与的位置关系，并给出证明．
拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形中，其他条件不变，若射线恰好经过的中点O，且，，请直接写出的长．

7 . 几何综合：
已知：点是边上一动点，作∽，点、点分别是边、的中点，连接、；设（常数）．
   
(1)证明推断：
若．如图①，当时，
①求证：≌；
②推断：当时，_____；
(2)类比探究：
若．如图②，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：
若．如图③，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．

10 . 【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组：和是等腰直角三角形，．
连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了．
二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在和中，，连接．
则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______；

【变式拓展】
（3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长．