1 . 如图，于点，于点，，与交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：．

3 . 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点F，交于点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．

4 . 如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

5 . 如图，在中，是的中点， 于， 于点，且，

(1)求证：平分．
(2)若，，求的面积．

7 . 如图，点，，，分布于同一条直线上，点，分别位于直线的两侧，且，，．

(1)求证：；
(2)若，，连接、，求四边形的面积．

8 . 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．
①过作于点，试证明：；
②若，，求的长．

9 . （1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． 求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段、过点A，C作直线，求直线的函数解析式：
②如图3，长方形，点O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．

10 . （1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_______、_______时，直角三角形的面积最大；
（2）问题解决：如图①，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作，所以，又因为四边形是矩形，所以，于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题；
（3）问题拓展：如图②，矩形中，，，点E是边上的动点（点E与A、D两点不重合），连接、，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．