1 . 如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足．求证：

   

(1)；
(2)是等边三角形．

2 . 如图1所示，已知点，有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．

   

(1)试说明；
(2)若点M坐标为，点N坐标为，请直接写出m与n之间的数量关系；
(3)如图2所示，过点P作线段，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为中点，且，绕着顶点P旋转直角，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，和是否还相等，请说明理由；
(4)在（3）条件下，请直接写出的值．

3 . 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：
(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，求与的数量关系；
②如图3，当时，求的长．
猜想论证：
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

4 . 【推理】
如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点，与交于点．

(1)求证：．
【运用】
(2)如图2，在【推理】条件下，延长交于点，若，求线段的长．
【拓展】
(3)如图3，在【推理】条件下，连接，则线段的最小值为______．

6 . 如图，在长方形中，，，垂直平分分别交，于，，求证：．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整）

解：∵（______________），
∴（______________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的定义）．
在和中，
∴（_________________）．
∴（________________________）．
∵垂直平分（已知），
∴（线段垂直平分线的性质）
∴（_________________）．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，，，，，则点C的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，直线与轴、轴分别相交于两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．4

9 . （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点在直线同侧，，，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法）；
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_____；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积；
（4）拓展提升：如图4，等边中，cm，点在上，且cm，动点从点沿射线以2cm/s速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点运动的时间为秒．
当_____秒时，；
当_____秒时，点恰好落在射线上．

10 . 如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使得的对应边与相交于点E，若，，则_____．