1 . 如图1,已知,,点D平面内的一点,连接,将线段绕点C顺时针方向旋转得到,连接.
(1)【问题发现】如图1,若点D为内的一点,线段与的数量关系是 ___________,线段与位置关系是 ___________;
(2)【问题探究】如图2,若点D为外的一点,连接,若,探究线段与的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图3,若点D为外的一点,且,,(),当是以为腰的等腰三角形时,求的值.
(1)【问题发现】如图1,若点D为内的一点,线段与的数量关系是 ___________,线段与位置关系是 ___________;
(2)【问题探究】如图2,若点D为外的一点,连接,若,探究线段与的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图3,若点D为外的一点,且,,(),当是以为腰的等腰三角形时,求的值.
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2 . 综合与实践
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
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名校
3 . 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.
如图1,四边形中,,.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】
(1)如图1,连接筝形的对角线、交于点O,试探究筝形的性质,并填空:对角线、的关系是: ;图中、的大小关系是: .
【概念理解】
(2)如图2,在中,,垂足为,与关于所在的直线对称,与关于所在的直线对称,延长,相交于点.请写出图中所有的“筝形”,并选择其中一个进行证明;
【应用拓展】
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,分别交、于点、.求证:.
如图1,四边形中,,.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】
(1)如图1,连接筝形的对角线、交于点O,试探究筝形的性质,并填空:对角线、的关系是: ;图中、的大小关系是: .
【概念理解】
(2)如图2,在中,,垂足为,与关于所在的直线对称,与关于所在的直线对称,延长,相交于点.请写出图中所有的“筝形”,并选择其中一个进行证明;
【应用拓展】
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,分别交、于点、.求证:.
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4 . 【问题情境】数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形中,,是延长线上一点,且,连接,交于点,以为一边在的左下方作正方形,连接.试判断线段与的位置关系.
(1)【探究展示】小明发现,垂直平分,并展示了如下的证明方法:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵四边形是矩形,
∴.
∴__________.(平行线分线段成比例)
∵,
∴.
∴.
即是的边上的中线,
又
∴__________.(等腰三角形的“三线合一”)
∴垂直平分.
请将上述证明过程补充完整;
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图2,连接,以为一边在的左下方作正方表,发现点在线段的垂直平份线上,请你给出证明;
(3)【拓展应用】
如图3,连接,以为一边在的右上方作正方形,分别以点,圆心,为半径作弧,两弧交于点,连接.若,请直接写出的值.
(1)【探究展示】小明发现,垂直平分,并展示了如下的证明方法:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵四边形是矩形,
∴.
∴__________.(平行线分线段成比例)
∵,
∴.
∴.
即是的边上的中线,
又
∴__________.(等腰三角形的“三线合一”)
∴垂直平分.
请将上述证明过程补充完整;
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图2,连接,以为一边在的左下方作正方表,发现点在线段的垂直平份线上,请你给出证明;
(3)【拓展应用】
如图3,连接,以为一边在的右上方作正方形,分别以点,圆心,为半径作弧,两弧交于点,连接.若,请直接写出的值.
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5 . [综合与实践]问题情境:数学活动课上,老师提出如下问题;将两个全等的矩形和按图所示方式摆放,其中点在上,点在上,与交于点.求证:垂直平分线段.
(1)[数学思考]请你解决老师提出的问题;
(2)[问题解决]将矩形以点为中心,顺时针旋转到图所示位置,与交于点.则老师所提问题的结论是否仍然成立?请说明理由.
(3)[拓展探究]如图,在矩形以为中心,顺时针旋转的过程中,当点恰好落在边上时,点恰好落在边上,若,,则的长度值为___________.
(1)[数学思考]请你解决老师提出的问题;
(2)[问题解决]将矩形以点为中心,顺时针旋转到图所示位置,与交于点.则老师所提问题的结论是否仍然成立?请说明理由.
(3)[拓展探究]如图,在矩形以为中心,顺时针旋转的过程中,当点恰好落在边上时,点恰好落在边上,若,,则的长度值为___________.
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名校
6 . 综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题.
问题情境:某校学习小组在探究学习过程中,将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置.现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转(0°<<90°),如图2,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.(1)初步探究:勤思小组的同学提出:当旋转角= 时,△AMC是等腰三角形;
(2)深入探究:敏学小组的同学提出:在旋转过程中.如果连接AP,CE,那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线,请帮他们证明;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,△CPN是否能成为直角三角形?若能,请求出旋转角的度数;若不能,请说明理由.
问题情境:某校学习小组在探究学习过程中,将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置.现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转(0°<<90°),如图2,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.(1)初步探究:勤思小组的同学提出:当旋转角= 时,△AMC是等腰三角形;
(2)深入探究:敏学小组的同学提出:在旋转过程中.如果连接AP,CE,那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线,请帮他们证明;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,△CPN是否能成为直角三角形?若能,请求出旋转角的度数;若不能,请说明理由.
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2022-03-28更新
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233次组卷
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3卷引用:河南省许昌市魏都区第一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
名校
7 . 【发现】如图1,,为的中点,平分,过点作,垂足为,连接.
(1)求证:是的平分线;
(2)连接,求证:垂直平分线段;
【拓展】如图2,,和的平分线和相交于点,过点的直线与,分别相交于点,(点,在的同侧).
(3)判断是否为线段的中点,并说明理由;
(4)若四边形的面积为16,的面积为2,则的面积是___________.
(1)求证:是的平分线;
(2)连接,求证:垂直平分线段;
【拓展】如图2,,和的平分线和相交于点,过点的直线与,分别相交于点,(点,在的同侧).
(3)判断是否为线段的中点,并说明理由;
(4)若四边形的面积为16,的面积为2,则的面积是___________.
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2022·云南昆明·三模
名校
8 . 综合与实践
在数学教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.
实践发现:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,折痕为EF,把纸片展平:再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,折痕为BM,把纸片展平,连接AN,如图①;
(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线?请判断图中是什么特殊三角形?请写出解答过程.
(2)继续折叠纸片,使点A落在BC边上的点H处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,把纸片展平,如图②,求∠GBN的度数.
(3)拓展延伸:
如图③,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸片展平,连接交ST于点O,连接AT;求证:四边形是菱形.
在数学教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.
实践发现:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,折痕为EF,把纸片展平:再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,折痕为BM,把纸片展平,连接AN,如图①;
(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线?请判断图中是什么特殊三角形?请写出解答过程.
(2)继续折叠纸片,使点A落在BC边上的点H处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,把纸片展平,如图②,求∠GBN的度数.
(3)拓展延伸:
如图③,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸片展平,连接交ST于点O,连接AT;求证:四边形是菱形.
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2022-07-07更新
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639次组卷
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4卷引用:2023年广西中考数学真题变式题23-26题
(已下线)2023年广西中考数学真题变式题23-26题2022年云南省云南大学附属中学中考三模数学试题广东省惠州市仲恺高新区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(已下线)专题1.30 特殊平行四边形重难点突破专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)
9 . 如图,四边形中,,.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
概念理解
(1)根据上面教材的内容,请写出“筝形”的一条性质:____________________;
(2)如图1,在中,,垂足为,与关于所在直线对称,与关于所在直线对称,延长,相交于点.请写出图中的“筝形”: ____________________;(写出一个即可)
应用拓展
(3)如图2,在(2)的条件下,连接,分别交,于点,,连接,求证:.
概念理解
(1)根据上面教材的内容,请写出“筝形”的一条性质:____________________;
(2)如图1,在中,,垂足为,与关于所在直线对称,与关于所在直线对称,延长,相交于点.请写出图中的“筝形”: ____________________;(写出一个即可)
应用拓展
(3)如图2,在(2)的条件下,连接,分别交,于点,,连接,求证:.
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18-19八年级上·江西南昌·阶段练习
10 . (1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围是
(2)问题解决:如图②,在△ABC中D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围是
(2)问题解决:如图②,在△ABC中D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
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2020-04-23更新
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960次组卷
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9卷引用:专题13.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(人教版)
(已下线)专题13.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(人教版)(已下线)专题13.6 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(华东师大版)(已下线)专题2.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(苏科版)(已下线)专题2.7 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(浙教版)(已下线)专题15.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(沪科版)江西省南昌市江西科技学院附属中学2018-2019学年八年级上学期第一次月考数学试题(已下线)【南昌新东方】 2020年高新三中八年级10月份月考试卷 62江苏省无锡市惠山金桥实验学校2020-2021学年八年级上学期期中数学试题(已下线)江苏八年级上学期期中【压轴35题考点专练】(前四章)-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(苏科版)