1 . 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．
的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为
，请写出之间的数量关系： ．
(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，
，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形
，记图中正方形，正方形
，正方形
的面积分别为．若
，则
．
的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ．(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，
，求该飞镖状图案的面积．(3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形
，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ．
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2 . 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为
，
，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为
、
、
，若
，求．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为
，，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形
，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
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3 . 如图，以
两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为
．
的长；
(2)求半圆面积（结果保留
）．
两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为．
的长；(2)求半圆面积（结果保留
）．
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名校
4 . 如图，已知在中，
是
上的一点，
，点P从B点出发沿射线
方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接
．
秒时，求
的面积；
(2)若平分
，求t的值；
(3)过点D作
于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使
？
中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
秒时，求的面积；(2)若
平分，求t的值；(3)过点D作
于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
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5 . 如图在四边形中，
为对角线，
，
，
，
．的周长；
(2)求四边形的面积．
中，为对角线，，，，．
的周长；(2)求四边形
的面积．
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2024-04-23更新
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113次组卷
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2卷引用：吉林省2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
6 . 综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，
，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）
探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出
，
，
的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．
一个直角三角形的两条直角边分别为a，
，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出
，，的一个等式：__________，并给出证明过程；【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．
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7 . 如图，在中，
，
，
．
(1)的面积等于_______．
(2)D为
的中点，P是
上的动点，连接
，
．当
取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明）
中，，，．(1)
的面积等于_______．(2)D为
的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明）
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解题方法
8 . [方法储备]如图1，在中，
为的中线，若
，
，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点
，使得
，连结，可证明，由全等得到
，从而在
中，根据三角形三边关系可以确定
的范围，进一步即可求得的范围．
在上述过程中，证明
的依据是______，的范围为______；
[思考探究]如图3，在中，
，
为中点，、
分别为、上的点，连结
、
、
，
，若
，
，求的长；
[拓展延伸]如图4，
为线段上一点，
，分别以、为斜边向上作等腰
和等腰
，为中点，连结
，
，．
①求证：
为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（
，
，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若
，
，求
和
的面积之差．
中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．在上述过程中，证明
的依据是______，的范围为______；[思考探究]如图3，在
中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；[拓展延伸]如图4，
为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，．①求证：
为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰
绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差．
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9 . 如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿
顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题．
(1)判断
与的位置关系，并说明理由．
(2)设，交于点F，求
的长．
顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题．(1)判断
与的位置关系，并说明理由．(2)设
，交于点F，求的长．
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10 . 在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为
，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
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