1 . 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且BC＝BD．按下列要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）．

(1)作∠ABC的角平分线交CD于点E；
(2)作线段AD的垂直平分线交AD于点F；
(3)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．

2 . 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
要求：①根据给出的△ABC及AB边上的中点D，利用尺规作图作出AC边上的中点E；（不写作法，保留作图痕迹）
②连接DE，并写出已知、求证和证明过程．

3 . 如图，点C为线段AB外一点．

(1)求作平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设点P，Q分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AC，BD，PQ相交于同一点．

4 . 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)根据给出的及AB边上的中点D，利用尺规作图作出AC边上的中点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连结DE，已知：如图，在中，点D、E分别是AB与AC的中点．求证：，且，以上给出了已知、求证，请你完成证明过程．

5 . 如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

(1)证明DE是⊙O的切线；
(2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长．

6 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径．
(1)尺规作图：作∠ABD＝∠ABC，与⊙O交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接CD交AB于点E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半径长．

7 . 如图，在正方形中，对角线．

（1）在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）在（1）中，连接，于，交边于点，，求的长．

8 . 如图，已知中，为的中点．

（1）请用尺规作图求作边的中点，并连接（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若，求的长．

9 . 在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点．
（1）尺规作图：过点E作AB的平行线交BC于点F（要求，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，若点D、E分别为AB、AC的中点，探究∠ADE与∠EFC的数量关系，并证明．

10 . 如图，△ABC中，AB＝CB．
（1）作点B关于AC的对称点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接AD，CD，连接BD，交AC于点O．
①猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
②取BC的中点E，连接OE、AE，若OE＝5，BO＝8，求线段AE的长．