1 . 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．

2 . 如图1，在直角三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．

【观察思考】
（1）折痕的长为______；
【实验探究】
（2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，求的值；
②如图3，当直线时，求的长．

4 . 问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；
拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．

5 . 如图，中，点D是上一点，点E是的中点，过点C作，交的延长线于点F．连接，．

(1)求证：；
(2)如果点D是的中点，请直接写出当与满足什么条件时，四边形是菱形．

6 . 在中，P为边上一点
(1)如图，若，求证：；

(2)如图，若M为的中点，，，，求的长；

(3)如图，D为上一点，点E为的中点，，，，，直接写出的长．

8 . （1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长        ．

（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；

（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长        ．

9 . 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点．

(1)线段的长为          ．
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）．

10 . 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)如图1，点D在上，且为格点：①将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；②在上取点F，使
(2)如图2，点P在上，过点P作交于点M；
(3)如图3，点P是下方网格内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段；