1 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题．
点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）．

(1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和
(2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______．
(3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______．

2 . 如图1，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O．准备一根平放在平行四边形上的直细木条，用大头针把木条的中点固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动．
   
(1)如图2，拨动细木条到对角线的位置，连接，，，．请你证明此时四边形是平行四边形；
(2)如图3，把上述平行四边形换成矩形，拨动，使得点E，F分别落在边，上，连接，．若，，，求此时的面积．

3 . 问题提出

（1）如图①，在中，，，，D是边的中点，以点D为圆心，长为半径作，E是上一点，则线段的最小值为      ．
（2）如图②，在中，，，，若平分的面积，且最短，请画出符合要求的线段，并求出此时的长度．
问题解决
（3）如图③，某公园有一块矩形空地准备重新改造，经测量米，米，现计划修两条笔直的小路、，且平分矩形的面积，，在两条小路的交汇处G安装路灯，基于安全考虑，路灯的电线通过地下管道接入（管道宽度不计），是否存在符合设计要求的长度最短的管道？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度不计）

4 . （1）操作：如图，已知三个矩形和三个平行四边形，请你试着画一条直线将每个图形分成面积相等的两部分．（同一种图形中的画法不能重复）

（2）归纳：这样的直线你能画             条．观察你画的这些直线，得出的结论是        ．
（3）应用：①一位同学受到前面操作的启发，在3×3的方格纸中，他用格点连线将方格纸分割成全等的两部分，请你给出与他不一样的两种画法．

②如下图，一块平行四边形的稻田里有一矩形的水库，现要从水库引一条笔直的水渠（水渠的宽度忽略不计），并使水渠两侧的稻田面积相等，请你在图中画出你的设计方案．

5 . 【问题初探】
在数学课上，王老师给出了如下问题：如图1，中，，，求线段与的数量关系．
小明同学通过，，两个特殊角构造直角三角形，可以求出线段与的数量关系．请你根据小明的思路解决此问题．

【类比分析】
在上面问题解决后，王老师对问题进一步变式：
如图2，中，，，，求线段的长．

【学以致用】
如图3，在五边形中，，，P为上一点，，，，求五边形的面积．

6 . 某窗户的形状如图所示，其上部是半径为米的半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知长方形的长和宽分别为米和米．如果在半圆和两个相同的长方形处镶嵌钢化玻璃．

(1)用含有的代数式表示镶嵌钢化玻璃的面积（结果保留）；
(2)已知市场上钢化玻璃的价格为元/米²，当时，求镶嵌钢化玻璃所需的费用是多少元？（π取3）

7 . 根据以下素材，探究完成任务

设计路的宽度
材料1	为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．
材料2	为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图中阴影部分）
问题解决
任务1	若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长；
任务2	若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积；
任务3	当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值．

8 . 如图1，在中，，的长为a，动点D在边上从点A向点B运动，过点D作，垂足分别为E，F，设的长为x，矩形的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为，则a的值为（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

9 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于．
   
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
(2)若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过点作轴的平行线交一次函数图象于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标；
(3)定义：若矩形的周长是面积的倍，则称该矩形为“倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为18，面积为，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过作轴于点，作轴于点．若矩形是“倍积矩形”，最小可以取多少？当取最小值时，求出点的坐标．

10 . 如图，是边长为1的等边三角形，分别取的中点D、E，作第一个矩形内接于（四边形DEFG的各顶点均在的各边上），然后取的中点H、I，作第二个矩形内接于，再取AH、AI的中点J、K，作第三个矩形内接于……则第2023个矩形的面积是________．