2 . 综合与实践
问题情境：在中，．点在斜边上运动，过点作射线，分别与边交于点．
猜想证明：
（1）当点在斜边的中点处时，
   
①如图（1），在旋转过程中，当点时，与的数量关系是______，_______．
②当旋转到如图②所示的位置时，的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．
③如图③，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长_______；
类比探究
（2）当点在斜边上运动时，
①如图④，当点运动到时，_______；
②如图⑤，连接，当是等腰三角形时，求的长．

3 . 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵                       综合实践活动报告                    时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离．	________． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）

请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．

4 . 如图，某校的教学楼和图书馆之间有一假山，课外数学小组计划测量假山边缘点C到教学楼底部点B的距离．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容：

课题	测量BC的长度
图示
发言记录	小明：点B，C，E在同一水平直线上，在点D处测得假山的边缘点C的俯角为； 小刚：在点D处测得教学楼顶端A的仰角为： 小红：测得，．

请你根据表格中记录的信息，计算的长．（，结果保留整数）

5 . 文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层搬尖顶阁楼，砖木结构，文昌阁是河南省第五批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的精华，具有重要的历史、科学、艺术价值，某数学兴趣小组准备测量文昌阁阔身的高度，为此制订了测量方案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表：

活动课题	测量文昌阁阁身的高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测工具
示意图
测量步骤	如图：（1）利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为； （2）利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为； （3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为）， 利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）

请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身的高度．（结果取整数．参考数据：）

6 . 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．

课题	母亲河驳岸的调研与计算
调查方式	资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
	功能	驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
	驳岸剖面图		相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
	计算结果
交流展示

7 . 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形.
   
善思小组分享的方法是：如图2，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
   

8 . 随着智慧校园的建设和推动，人脸识别系统被广泛应用于各学校，记录师生的入校时间，仪表检查，实现多效功能；如图①是一款人脸识别终端，图②是其侧面示意图，其中为底座，撑板，屏幕，底座与撑板的夹角，屏幕可绕点旋转．当撑板与屏幕的夹角时，求点到底座的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，）