1 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．

3 . 问题提出：
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的位置关系是______．
（2）如图2，在中，，，请求出外接圆的半径．
问题解决：
（3）西安市高新逸翠园初级中学内有一块四边形空地，如图3所示，，米，，点为的中点，点在上，点在射线上，且，连接与相交于点．学校规划区域为小翠校园农场，其它区域为学生活场地，为了扩大学生的活动空间，是否存在面积最小的三角形农场？若存在，请求出这个面积最小值；若不存在，请说明理由．

8 . （1）问题提出
如图①，为正方形内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．若，当线段取最大值时，求的度数和正方形的面积；
（2）问题解决
如图②，是某小区内设计的居民活动中心示意图，已知O是正方形的中心，是正方形外一点，连接，且，．按照设计要求，四边形内部为成人活动室，阴影部分是儿童游乐场，设的长为，阴影部分的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按设计要求，儿童游乐场（阴影部分）的面积为，求的长．
   

9 . 九年级的小明，小亮与其他数学爱好者在网课学习期间交流了如下问题：

(1)如图①，在中，D，E分别为，上两点，，，，，则______．
(2)在学习了北师大版数学九下46页关于直角三角形内接矩形问题后，小明提出了一般三角形的内接矩形问题．如图②，四边形是的一个内接矩形（矩形四个顶点在三角形三边上），如果，，请计算当为多长时，矩形面积最大？
(3)研究完问题（2）后，小亮又想知道如何去画的一个内接正方形，他又请教了数学张老师，知道了用位似的方法可以解决并证明．如图③，在边上任取一点，作正方形，使，落在边上，连接并延长交于点E，作，，，即可得到正方形，大家称线段为“缩放线”．张老师又启发同学们一起解决下列问题，如图④，在中，若，边上的高记为x，在“缩放线”上取，连接，，当时，设三角形的面积为y，请探究y与x的函数关系式．

10 . 如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4