1 . 如图，是等边的外接圆．

【问题原型】如图，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴，，
∴，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
∴．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．

4 . 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．

(1)在图①中，找一格点，连接，使（画出一种即可），这样的格点（与点不重合）有      个．
(2)在图②中，找一格点，连接，使（画出一种即可）．
(3)在图③中的线段上画一点，连接，使．

6 . 【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补．”如图①，小明给出了如下证明方法：
证明：连结、．
所对的弧为，所对的弧为．
又和所对的圆心角的和是周角．
．
同理．
这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补．
【应用】如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则    1    ．
【探究】如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点
（1）求证：；
（2）若，，则四边形的面积为    2    ．

7 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．
缺失（1）
在与中，
，
∴．
∴，
，，
又，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．

8 . 【探究】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、，求证：．
小明分析后发现，如图②，将绕点A顺时针旋转得到，再证明D、B、E三点共线，从而得到等边三角形，进而证得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴．
∵，∴．
∴D、B、E三点共线．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图①，是等边三角形，它内接于，点D是上任意一点（不与点B、C重合），连结、．若，则四边形的面积为______．
【拓展】如图③，等腰直角三角形内接于，，点D在上且位于直线下方，若的半径为2，则四边形的周长的最大值为______．

9 .

【感知】如图①，点、、、均在上，点、、三点共线，，则为______度．

如图②，是四边形的外接圆，连结、，点在上，，若延长到点，使，连结．则易证．（不用证明）

【探究】如图③，在四边形中，，，，．求的长．

【应用】如图④，是的直径，点、在上，点是弧的中点，若，，则______