1 . 【问题探究】
(1)如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；

(2)【知识迁移】如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点．
①若，则__________；
②若，，求阴影部分面积．

2 . 如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是________．

3 . 公元前约年，古希腊的希波克拉底研究了他自己所画的形如图①图形，得出如下结论：“两个月牙形的面积之和，等于的面积，即”，随即他试图将结论推广并提出了两个猜想：

(1)以正方形的边为直径作半圆，和以对角线为直径的圆形成如图②所示的个月牙形，则个月牙形的面积之和等于正方形的面积，即．
(2)以正六边形的边，，为直径作半圆，和与对角线为直径的圆围成的个月牙形，则个月牙形的面积之和等于正六边形的面积，请你判断两个猜想是否正确，并说明理由．

4 . 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交双曲线于点，以为对角线作正方形，与轴交于点，与轴交于点，连接，以为直径画弧，与线段围成的阴影面积为，的面积为．

(1)求的值；
(2)求的长度及线段的长度；
(3)求的值．

5 . （1）请用尺规过外一点P做的一条切线，切点为D．（保留做图痕迹）

（2）如图，与相切于点，直径的延长线与交于点，点是劣弧上一点，的延长线与的延长线交于点，且分别交于点．依次连接交于点．

①判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
③若，求；
④若半径为，则阴影部分面积为______（结果保留）

6 . 问题提出
（1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值．

问题解决
（2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值．

7 . 如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒．

(1)当______时，半圆与直线相切；
(2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由；
(3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积．

8 . 根据背景素材，探索解决问题

探究草坪喷灌系统的节水优化方案
项目 背景	小明和他的同学在操场上散步时，一不小心被草坪的喷灌系统的水喷到了，他们想，这个水是不是可以开小点？不仅不会喷到人，也节约水资源．但是，水开的小就不能保证整个草坪都喷到水……为了解决这个问题，他们展开了项目研究，查阅了大量文献资料，以及实地观察了学校的草坪喷灌系统的运作．
问题 解决	小明认为可以把此问题抽象为一个数学问题： 在边长为20米的正方形草坪上，如何设计喷头布局方案，使得节水效果最好？
任务一	（1）同学甲和乙马上设计了两种方案，如图1所示，你认为哪位同学设计的方案更节水？（为了方便研究同时结合文献资料，同学们将喷头的喷水面抽象为圆或者扇形，统一了节水评价标准为：阴影部分面积越小，越节水．）（       ） A．甲更节水                 B．乙更节水 C．一样节水                 D．无法比较
任务二	（2）小明认为他们的方案可以进一步优化，他设计了如图2所示的喷灌方案（以点D为圆心，长为半径作扇形，与正方形交于E，F两点，再以点B为圆心，长为半径作扇形，与边，的延长线交于点G，H），并认为此方案更节水．你认为呢？不妨令，当x取何值时，阴影部分面积最小？请说明理由，并求出该最小值．
任务三	（3）在小明设计的方案基础上，丙同学又进行了优化，他的方案如图3所示，先以点B为圆心，AB长为半径作扇形，交BD于点E，再以点D为圆心，DE长为半径作扇形，此时正方形草坪还有两处未被喷水面覆盖，于是再分别以点A，C为圆心，AE长为半径作扇形，得到如图3的方案图，则______；此时阴影部分面积为______．

9 . 某广告公司现对广告设计图案进行涂色．有以下问题请你帮忙解决．
(1)如图1是某个矩形广告图案的一部分，每平方米涂刷需要用油漆0.5千克，已涂色部分涂刷用去3.75千克油漆．求矩形广告的高是多少米?
(2)大约还需要多少千克油漆才能把图1中①②部分涂完?（）
(3)如图2中的矩形是面积为18的广告牌，现已用同样的油漆对图中的阴影部分完成涂刷、已知．现需对空白的部分用特殊涂料涂色，求面积．
          

10 . 如图，内接于半径为1的，，过点A作，的延长线交于点E，交直线于点D，连接．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．