4 . 综合与实践
问题情境：
在矩形中，E是边上的一点，过点E作对角线的垂线，垂足为点F，点G是的中点，连接．

小试牛刀：
(1)如图1，若，直接写出线段与的数量关系以及的度数．
变式探究：
(2)如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点F落在边的延长线上，其余条件不变，请探究（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
(3)将绕点B逆时针旋转（旋转角小于360°），请探究下列问题：
①若将“矩形”变为“正方形”，其余条件不变，请在图3中画出旋转到某一位置的图形，并直接写出线段与的数量关系以及的度数；
②连接，若要保证绕点B逆时针旋转过程中，始终为等边三角形，写出矩形应满足的条件．

5 . 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

   

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．

   

7 . 【问题背景】
如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点．菱形与菱形全等，．点和点分别是与以及与的交点．当菱形绕点旋转时，且点始终在线段上，两个菱形重叠部分的面积总等于一个菱形面积的．

【类比探究】
已知菱形的对角线相交于点O，．等边边、分别与菱形的边、相交于点M、N．

(1)如图1，若等边的顶点与点重合，求证：．
(2)数学兴趣小组对上面的问题进行了拓展探究，如图2，将图1中的沿方向平移至如图所示位置，若（为常数）请描述与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交边于点，连接，若，且，求的值．

8 . 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

   

探究发现
如图1，在中，，．

   

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

   

10 . 【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接．

【尝试初探】求证：；
【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：；
【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示）