1 . 【问题提出】
如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系．
【方法感悟】
（1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________；
小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论．

【方法迁移】
（2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【问题拓展】
（3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想．
（4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长．

4 . 【阅读思考】
在平面直角坐标系中，点的坐标分别，且，点是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点是的智慧点，记作．

【初步探究】
（1）如图1，分别在轴、轴的正半轴上．
①若，，，求证：点是的智慧点；
②若，用含的式子表示点的坐标．（直接写出答案）
【理解应用】
（2）若，，且，求的值．
【拓展迁移】
（3）若，，点，且，求点的坐标．

9 . 综合与实践
问题背景：在中，，点D在边上 （不与点A、C重合）．于E，连结，F为线段的中点．
   
(1)问题发现：
若，如图1，连接、，则线段与之间的关系为          ；
(2)探究证明：
如图2，在（1）的条件下，将图中的绕点A顺时针旋转，使得D、E、B三点共线，F为线段的中点，连接，探究线段，之间的数量关系，并证明；
(3)拓展延伸：
如图3，若，，，将绕点A顺时针旋转，当D，E，B三点共线时，F为的中点，连结，求的长．

10 . 探究完成以下问题：
【初步认识】
(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；
【特例研究】
(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．
①求证：；
②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．