1 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

[观察与猜想]
(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝ 　 　；
(2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　．
[性质探究]
(3)如图③，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：；
[拓展延伸]已知四边形是矩形，，
(4)如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值；
(5)如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时， 　 　．

2 . 【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决
   
（1）若四边形是菱形，边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接、，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ．
【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：
（2）如图2，若四边形是正方形，边长为，点为中点，点是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．求：
①与的数量关系；
②求长度的最小值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的基础上，当是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积．

3 . （1）问题发现：如图1，在和中，，，，连接，并延长交于点F. 填空：
的值为            ； 的度数为            ．
（2）类比探究：如图2，在和中，，，连接交的延长线于点F. 请判断的值和的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点A在平面内旋转，，所在直线交于点F，若，，请直接写出当点D与点F重合时的长．

4 . 问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为　　　　．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；
如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长．

5 . （1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．

6 . （1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．

①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝       °．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝       °．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：

①∠FEG＝       °；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系       ．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为       ．

7 . 问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．

(1)初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM     △BND（填相似或全等）；
(2)类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．
(3)延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若S_△ADM：S_△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝        ．

8 . 综合与实践：过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．
【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且，无论点P在何处，总有，请证明这个结论．
【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长．
【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．
   

10 . 【探究发现】

（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．

      

【尝试应用】

（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．

【拓展应用】

（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．

①若．求的长度；

②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．