2 . 【问题提出】
如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段之间存在怎样的数量关系？
   
（1）【问题探究】
如图（2），当点重合时，
①与的数量关系是         ．
②                  ．
（2）如图（1），当点不重合时，求．
（3）【问题拓展】
如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，求出线段之间的数量关系（用一个含有的等式表示）．

4 . 在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：

(1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______．
(2)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）；
(3)在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；
(4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若．求出的周长，并说明理由？

6 . 如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接（点A、在的两侧）．
   
【问题发现】
（1）如图所示，若时，、的数量关系为_____，直线、的夹角为______；
【类比探究】
（2）如图所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．

7 . 【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．

【知识方法】
（1）如图1，在与中，，连接、，则与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，正方形与正方形共用点D，连接、，试探究、之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，在与是等边三角形，可以绕点C旋转，连接、、．若，当四边形是平行四边形时，则线段的长是_______；
【拓展应用】
（4）如图4，点P是矩形边上的动点，连接，将绕点P顺时针旋转至，交于点G，将绕点P顺时针旋转至，连接、、、若，求四边形面积的最小值．

9 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．

设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 　 　，通风口的最大面积是 　 　（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）

10 . 例题再现：

(1)如图1，在中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长；
类比探究：
(2)如图2，在中，，，点D，E分别在线段，上，连接，，在上截取，连接，．求的长；
拓展延伸：
(3)如图3，在中，点D，点E分别在线段，上，连接，．延长，交于点F，过点B作于点M，，，，求的长．