1 . 阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，和都是等边三角形，将绕着点旋转，求证：．
【探究发现】（1）小百合很快就通过，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图2，将绕着点旋转，其中那么和有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形矩形，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转，连接、，直线交于点，在旋转的过程中，试证明为的中点．
   

3 . 如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．

【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】
（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；
【拓展运用】
（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．

5 . 【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F．小明发现可以通过证明：得（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、、之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长．（直接写出结论即可）
   

6 . 【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．
   
【问题提出】如图2，在对余四边形中，，设，试探究与n之间的关系．
【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，在对余四边形中，，连接，，直接写出与的值；
（2）再探究一般情形，如图2，试探究与n之间的关系；
【问题拓展】（3）如图3，在对余四边形中，连接，，，过C作的垂线交于F，，直接写出和的值（用a表示）

7 . 定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为，这个倍腰三角形的周长为________；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“”；错误的打“”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（          ）
（2）如图，依次连接倍腰三角形各边的中点，则图中共有个倍腰三角形（          ）
性质应用：如图，倍腰三角形是的内接三角形，且，若的半径为，求倍腰三角形的面积；
拓展应用：如图，是的外接圆，直径于点，与相交于点，与相交于点，是倍腰三角形，其中，请直接写出的长．
   

9 . 探究完成以下问题：
【初步认识】
(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；
【特例研究】
(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．
①求证：；
②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．
          

10 . 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

   

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．