1 . 【发现与思考】
如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，．
（1）直接写出线段、的长度：　　，　　；
（2）直接写出线段与的比值：　　；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度：　　．

3 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则          ．

（2）【问题解决】
如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长．

4 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．

7 . 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．

(1)【图特殊化】如图1，在正方形中，，交于点，则　　　　　（填比值）；
(2)【探究证明】如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
(3)【结论应用】如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
(4)【拓展运用】如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．

8 . 【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点O，平分，交于点E．作于点H，分别交，于点F，G．
（1）直接写________（填图中一条线段）
（2）求证：．
【迁移应用】
（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若交射线于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
   

10 . 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

(1)操作判断
如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
如图2，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
(2)迁移探究
如图3，在中，，，点D，E分别在边，上，且，试证明:；
(3)拓展应用
如图4，在矩形中，，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F为的三等分点时，请直接写出的长．