2 . 探究与证明．
活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)【操作证明】如图1，点E是正方形纸片的边所在射线上一动点，将正方形沿着折叠，点A落在点F处，把纸片展平，射线交射线于点P．根据以上操作，试证明：；
(2)【迁移探究】如图2，若正方形边长为6，点E是． 的中点，延长交于点Q，求线段的长度；
(3)【拓展应用】如图3，点E是矩形的边上一动点，将矩形沿BE折叠，使点A落在点F处，射线交射线于点．当时，直接写出的长．

3 . 【问题发现】
（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点H，求与的数量关系和位置关系．
           
【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形改成”矩形和矩形，且矩形矩形，．，如图2，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
   
【拓展延伸】
（3）若将“正方形和正方形改成”菱形和菱形，且菱形菱形，如图3．，．平分．点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．
   

4 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

6 . 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：
如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．

(1)观察发现
写出图1中一个与相似的三角形：________．
(2)迁移探究
当与的交点恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积．
(3)拓展应用
当点的对应点落在矩形的对称轴上时，求的长．

8 . 【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积．
【问题发现】
（1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到.即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为             ；(直接写出答案)

小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系.类比小明的做法，请完成下列探究：
【类比探究1】
（2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，求四边形的面积；
【类比探究2】
（3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长
交于点F，求四边形的面积；
【拓展应用】
（4）如图5，在矩形内，，，点E、F分别在边、上，，，连接，则的长为____．（直接写出答案）

10 . 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．