1 . 某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．
一、收集资料，阅读理解
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．

黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
二、动手操作，直观感知
任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形．

①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；
②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号）
三、探究延伸，灵活运用
任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示）
任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号）

请结合上述材料，解决下面问题：
(1)补全任务一①、②所缺的内容；
(2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示）
(3)完成任务三问题的解答．

2 . 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了他提出的有关圆的一个引理，如图，已知是一个半圆的直径，点O是圆心，D是弧上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

①过点B作半圆的切线；
②过点D作半圆的切线与交于一点T；
③过点D作的垂线，与交于点E；
④连接，与交于点F．
(1)尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）完成的图，直接写出线段与的数量关系．

4 . 如图，在矩形中，．点E在射线上运动（不与点D重合），连接，将沿翻折，点D的对应点为点F．

   

(1)如图1，若点F恰好落在矩形某一边所在的直线上，直接写出的度数．
(2)如图2，当点E恰好与点C重合时，求的面积．
(3)在点E运动的过程中，是否存在一点F，使得成为直角三角形？若存在，请你在虚线框内作图（要求：尺规作图，并标出相应的点F）；若不存在，请说明理由．

8 . 参考资料：对角互补四边形的四个顶点一定在同一个圆上．
请利用如上结论解决以下问题：
如图，为与的公共弦，连接并延长交于，连接、．

(1)请探究是否四点共圆，若是，请证明并使用尺规作图，在答题纸上作出四边形的外接圆，并保留作图痕迹；若不是，请说明理由；
(2)若，探究与的位置关系，并证明．

10 . 如图，点D是边长为的等边三角形中边上 的动点，作射线．

(1)尺规作图：在射线上作出一点P，使得；（不写作法，保留清晰作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，设点D从点B运动到点C，求点P随之运动的路径长；
(3)在（1）的条件下，连接．若的面积为，求的面积．