名校
1 . 如图，在
中，
，顶点
在反比例函数
的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用尺规作图画出线段
的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用
铅笔作图）；
(3)线段
与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接
，求
的长．
中，，顶点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用尺规作图画出线段
的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；(3)线段
与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接，求的长．
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名校
2 . 如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与矩形的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为矩形的“化方”．
已知：矩形
．
求作：一个正方形使其面积等于矩形的面积．
作法：①如图，延长到E，使
；
②以
为直径作半圆，延长
交半圆于点H；
③以
为边作正方形
，则正方形即为所求
根据上述作图步骤，完成下列填空：
(1)由②可知：
_________，其依据是_________．
(2)由（1）可得，
_________，所以
；
(3)由此可得正方形的面积等于矩形的面积．
已知：矩形
．求作：一个正方形使其面积等于矩形
的面积．作法：①如图，延长
到E，使；②以
为直径作半圆，延长交半圆于点H；③以
为边作正方形，则正方形即为所求根据上述作图步骤，完成下列填空：
(1)由②可知：
_________，其依据是_________．(2)由（1）可得，
_________，所以；(3)由此可得正方形
的面积等于矩形的面积．
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名校
3 . 如图，菱形中，
．点G是边
的中点．
(1)画出线段
的垂直平分线，分别交
于E，交于F（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)求线段
的值；
(3)求
面积的值．
中，．点G是边的中点．(1)画出线段
的垂直平分线，分别交于E，交于F（尺规作图，保留作图痕迹）(2)求线段
的值；(3)求
面积的值．
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4 . 戴高乐是二战期间领导法国人民赶走德国法西斯的英雄，也是法兰西第五共和国的总统．他去世后，根据他生前的意愿，他的墓前只立有一块小小的碑牌，一面刻着“查尔斯·戴高乐1890—1970”，另一面则刻着一个洛林十字架．洛林十字架由13块相同的小正方形组成，如图1所示．
(1)你能否只用一把无刻度直尺画一条直线，使其等分洛林十字架．（面积等分，在图1中画出1种情形即可）
(2)戴高乐还是第一个提出并且解决了下面一个非常有趣的有关洛林十字架的数学问题的人．问题如下：如图2，在洛林十字架的A点处作一条直线，把洛林十字架严格地划分成面积相等的两部分．
戴高乐利用圆规，直尺和铅笔解决了该问题，他的作法如下：如图3所示，①标记点D，B，M，连接BM，与AD交于点F；②以点F为圆心，FD长为半径作弧，与BF交于点G；③以点B为圆心，BG长为半径作弧，与BD交于点C；④连接CA并延长，与洛林十字架边界交于点N，则直线CN即为所求．
请根据戴高乐的作图步骤，证明直线CN等分洛林十字架．小林同学的部分证明过程如下：
标记点H，P，Q，如图3所示．设洛林十字架中每个小正方形的边长为1．
易证
，
∴
．
由作图，可知
．
∴
．
∴
．
∴
．
请补全小林同学的证明过程．
(1)你能否只用一把无刻度直尺画一条直线，使其等分洛林十字架．（面积等分，在图1中画出1种情形即可）
(2)戴高乐还是第一个提出并且解决了下面一个非常有趣的有关洛林十字架的数学问题的人．问题如下：如图2，在洛林十字架的A点处作一条直线，把洛林十字架严格地划分成面积相等的两部分．
戴高乐利用圆规，直尺和铅笔解决了该问题，他的作法如下：如图3所示，①标记点D，B，M，连接BM，与AD交于点F；②以点F为圆心，FD长为半径作弧，与BF交于点G；③以点B为圆心，BG长为半径作弧，与BD交于点C；④连接CA并延长，与洛林十字架边界交于点N，则直线CN即为所求．
请根据戴高乐的作图步骤，证明直线CN等分洛林十字架．小林同学的部分证明过程如下：
标记点H，P，Q，如图3所示．设洛林十字架中每个小正方形的边长为1．
易证
，∴
．由作图，可知
．∴
．∴
．∴
．请补全小林同学的证明过程．
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5 . 如图，在矩形ABCD中，
，
，E是AB上一点，连接CE，现将
向上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处．
（1）当点P落在CD上时，
_____；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是_____．
（2）当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②连接PD，求证：
；
（3）如图，当点Р在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长．
，，E是AB上一点，连接CE，现将向上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处．（1）当点P落在CD上时，
_____；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是_____．（2）当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②连接PD，求证：
；（3）如图，当点Р在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长．
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2019-09-21更新
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175次组卷
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2卷引用：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗四校联考2018-2019学年八年级下学期期末数学试题
6 . 如图，在△ABC中，∠A=90°，BC边上的高为AD．
（1）用尺规作图画出AD（保留作图痕迹，不写作法，画完后用黑色签字笔描黑）；
（2）求证：AD2=BD•CD．
（1）用尺规作图画出AD（保留作图痕迹，不写作法，画完后用黑色签字笔描黑）；
（2）求证：AD2=BD•CD．
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2018-11-24更新
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149次组卷
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2卷引用：【校级联考】福建省晋江市安海片区2019届九年级上学期期中考试数学试题
7 . 定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
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2018-04-08更新
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256次组卷
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2卷引用：2018年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份）
真题
8 . 定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究
，
和
的数量关系，并说明理由
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究
，和的数量关系，并说明理由
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2016-12-06更新
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950次组卷
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6卷引用：2015年初中毕业升学考试（浙江台州卷）数学
2015年初中毕业升学考试（浙江台州卷）数学（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题15 相似形问题2018年苏科版九年级下《第六章图形的相似》单元评估测（已下线）【万唯原创】2016年河北省中考数学-面对面正文-第二部分解答题型1类型2~4（已下线）【万唯原创】2017年河北省中考数学-试题研究-第二部分题型7（已下线）【万唯原创】2016年安徽省中考数学-面对面-正文-第二部分题型7
真题
9 . 设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴
，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴
，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
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10 . 阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系
中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，
将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标.
小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：
，于是有
，所以在Rt△EOF中，得到
，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）
请回答：
（1）如图1，若点E的坐标为
，直接写出点A的坐标；
（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线
折叠，求点A的坐标；
（4）将矩形沿直线
折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出
的取值范围.
问题：在平面直角坐标系
中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标.
小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：
，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：
（1）如图1，若点E的坐标为
，直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线
折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线
折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出的取值范围.
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