1 . 阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：
下列方程的解法对不对？为什么？
解：或．
解得或．
所以，．
同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．
小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：
取与的平均值，即将与相加再除以2．
那么原方程可化为
左边用平方差公式可化为．
再移项，开平方可得
请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：
关于x的方程的求根公式（此时）．

2 . 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：对于a²+6a+8．
（1）用配方法分解因式；
（2）当a取何值，代数式a²+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式＝a²+6a+8+1﹣1
＝a²+6a+9﹣1
＝（a+3）²﹣1
＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
＝(a+4)(a+2)．
（2）对于（a+3）²﹣1，（a+3）²≥0．
所以，当a＝﹣3时，代数式a²+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x²+2x﹣3；
（2）对于代数式，有最大值还是最小值？并求出的最大值或最小值．

3 . 由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．

请根据上面材料回答下列问题：
（1）当，式子的最小值为______________；当，则当__________时，式子取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．

4 . 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使并且，则将变成平方，从而使得化简．
例如：化简
解：

根据上述材料化简下列各式：
（1）                    
（2）                         
（3）

5 . 阅读材料：求1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰的值．
解：设 S=1+2+2²+2³+…2²⁰²⁰①，①×2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹②，
②﹣①得2S﹣S=2²⁰²¹﹣1，即S=1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰=2²⁰²¹﹣1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+2⁵；
（2）求1+3+3²+3³+…+3ⁿ的值． (其中n为正整数)

6 . 阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若实数m，n满足．求的最大值．

7 . 如何将用数轴上的点表示？关键是画出长为的线段．方法1：因为，所以我们可以通过画两条直角边分别为1、2的直角三角形来解决，我们把此法称为“和法”；方法2：因为，所以我们可以通过画直角边为2，斜边为3的直角三角形来解决，我们把此法称为“差法”．

（1）用“差法”将用数轴上的点表示（注：需用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
（2）对于正整数n，猜想当n是什么数时，我们都能通过“差法”，将用数轴上的点表示，并证明你的猜想．

8 . 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）²．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m²+2n²+2mn．∴a＝m²+2n²，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）²，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）²；
（3）若a+6＝（m+n）²，且a、m、n均为正整数，求a的值？

9 . 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x²+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x²+ax+3x+a+b＝3x²+（a+3）x+a+b，
所以3x²+4x﹣1＝3x²+（a+3）x+a+b．
所以，解得．
所以＝＝﹣＝3x+1﹣．
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m²+n²+mn的最小值．

10 . 新知识一般有两类：第一类是不依赖于其它知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系，拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识．
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）
（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何 获得的？（用来说明）