1 . 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．

2 . 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则面积的最大值为______

3 . 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形，求证：；
(3)若的面积为，求边AC的最小值．

4 . 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.

5 . 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？

6 . 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则cosA的最小值为______.

7 . 在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求．
(2)若点为边的中点，且，求面积的最大值．

8 . 在中，角的对边分别是，.
(1)求证：；
(2)若，求面积的最大值及取得最大值时，边的长.

9 . 已知平面四边形中，.
(1)若，求；
(2)若的面积为，求四边形周长的取值范围.

10 . 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.

   

(1)设的长为米，用表示；
(2)求扶梯的长；
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.