2024高三下·全国·专题练习
1 . 已知点
在抛物线C：
上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为
，
，且
．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
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2 . 凸多面体的顶点数V，面数F，棱数E之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故
；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故
；凸多面体的欧拉公式：
等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．
(1)若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
(3)试求正多面体的个数，并证明；
(4)若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．
；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故；凸多面体的欧拉公式：等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．(1)若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
(3)试求正多面体的个数，并证明；
(4)若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
3 . 已知
，函数
，
.是否存在实数
，使
恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由.
，函数，.是否存在实数，使恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由.
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4 . 已知点集
满足
，
，
.对于任意点集
，若其非空子集A，B满足
，
，则称集合对
为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为
，B中所有点的纵坐标之和为
.
(1)写出
的一个优划分，使其满足
；
(2)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足
；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足
且
.
满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.(1)写出
的一个优划分，使其满足；(2)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足；(3)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足且.
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5 . 有序数组是指数组里的数是按规定次序排列的，虽然仍然是同样一些数，但排列次序不同，看作是不同的数组．已知有序数组
：
，由此数组变换可得到一个新的有序数组
：
．如果有序数组中的数满足：当
时，
恒成立，则称有序数组为“首差不减数组”．
(1)已知有序数组P：
，Q：
，试判断有序数组P，Q是否为“首差不减数组”，并说明理由；
(2)有序数组
是数1，2，3，…，m的一个排列，有序数组
，若有序数组M，N均为“首差不减数组”，列举出所有满足条件的有序数组M．
：，由此数组变换可得到一个新的有序数组：．如果有序数组中的数满足：当时，恒成立，则称有序数组为“首差不减数组”．(1)已知有序数组P：
，Q：，试判断有序数组P，Q是否为“首差不减数组”，并说明理由；(2)有序数组
是数1，2，3，…，m的一个排列，有序数组，若有序数组M，N均为“首差不减数组”，列举出所有满足条件的有序数组M．
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6 . 已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，且，与短轴的一个端点
构成一个等腰直角三角形，点
在椭圆
，过点作互相垂直且与
轴不重合的两直线
，
分别交椭圆于
，
和点
，
，且点
，
分别是弦，的中点．的标准方程；
(2)若
，求以为直径的圆的方程；
(3)直线
是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．
的标准方程；(2)若
，求以为直径的圆的方程；(3)直线
是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
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7日内更新
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314次组卷
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2卷引用：陕西省西安市西咸新区2024届高三下学期第一次模拟考试数学（理科）试题
7 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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7日内更新
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162次组卷
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2卷引用：江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试题
8 . 已知椭圆 
的离心率为
， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 
为坐标原点， 
的面积为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点
且不过点 
的直线 
与椭圆 交于 
两点， 直线 
与直线 
交于点 ， 试判断直线 
的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ．(1)求椭圆
的方程；(2)若过点
且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
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9 . 已知椭圆
的离心率为
，点
为椭圆的左焦点，点为椭圆的上顶点，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为直线
上一动点，
为椭圆的左、右顶点，直线
分别交椭圆于
两点．试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
的离心率为，点为椭圆的左焦点，点为椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
为直线上一动点，为椭圆的左、右顶点，直线分别交椭圆于两点．试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
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10 . 已知抛物线
，直线与抛物线交于不同的两点
为坐标原点．
(1)若
，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为
，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点
时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．(1)若
，求证：直线过定点；(2)若直线
的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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